Các con số và cõi vô biên

Post bên đây cho nhiều người đọc.

___________________________


Huỳnh Ngọc Chiến
Các con số và cõi vô biên


Tìm hiểu thế giới chung quanh là nhu cầu tất yếu của con người, vừa để thỏa mãn khao khát tri thức, cũng vừa để áp dụng vào lao động sản xuất. Công cuộc tìm hiểu đó có lẽ bắt đầu bằng việc quan sát và đo đếm vạn vật trong thế giới chung quanh. Mười ngón chân và mười ngón tay ắt hẳn đã là công cụ thô sơ đầu tiên để con người cổ đại tính toán. Và hệ đếm cơ số 10 (decimal system) bắt đầu hình thành là điều gần như tất yếu. Một người thời cổ đại có lẽ rất bối rối khi đếm đàn gia súc của mình, khi mà số lượng đàn gia súc này vượt qua con số 20! Họ kết nút trên dây và dùng các vạch để tính toán. Khi đường dẫn ra thế giới ngoại tại càng mở rộng, thì các đại lượng tăng dần lên và tri thức con người cũng phát triển theo. Phát minh ra biểu tượng để ghi các lại con số có lẽ là một trong những phát minh vĩ đại của con người: thế giới thực đã được định lượng và trừu tượng hoá bằng những con số.

Thoạt tiên hình thức nguyên thủy của các con số là những vạch ngang hoặc dọc, và mỗi vạch tương ứng với số 1. Một hệ thống như thế rõ ràng gây phiền phức khi tính các con số lớn. Vào khoảng 3400 năm trước công nguyên, tại Ai-cập, con người đã sử dụng một biểu tượng đặc biệt để biểu diễn con số 10. Dần dần người ta thêm vào các biểu tượng cho con số 4 hoặc 5 và các biểu tượng cho những số lớn hơn 10. Tại Babylon, biểu tượng dùng cho số 1 cũng là biểu tượng dùng cho số 60 và bội số của 60. Người Ai-cập dùng các biểu tượng đặc biệt trong hệ thống văn tự tượng hình của mình để biểu diễn các con số 10, 100, 1000 và 10000.

Hệ thống biểu tượng số phổ biến trên toàn cầu mà chúng ta đang dùng hiện nay là hệ thống số của người Á-rập. Thực ra hệ thống này do người Hindu phát minh và được sử dụng ở Ấn Ðộ từ thế kỷ thứ 3 trước công nguyên. Vào thời kỳ đó thì các số 1, 4, 6 đã có hình thức tương tự như hiện nay. Ðược du nhập vào Á-rập khoảng thế kỷ 7,8 sau công nguyên, và được sử dụng ở châu Âu vào khoảng cuối thiên niên kỷ thứ nhất (976), hệ thống này đã nhanh chóng phổ biến bởi tính giản tiện của nó.

Ðặc biệt là việc phát minh ra số zero. Trong hệ thống số thực, zero là số duy nhất không âm không dương. Nhờ đặc điểm này mà nó mặc nhiên được xem như là điểm khởi thủy trên trục số thực vô tận về cả hai chiều, nghĩa là như một giao điểm của âm và dương. Trong suốt quá trình phát triển của biểu tượng số, thì biểu tượng cho số zero phát triển rất lâu sau các biểu tượng số khác. Con số đó, mặc dù là nỗi kinh hoàng cho học sinh, sinh viên trong các kỳ thi, cũng như cho các nhà doanh nghiệp khi kết toán lại quỹ vào cuối năm, nhưng nó đã đẩy tư duy trừu tượng của con người lên một bước tiến nhảy vọt. Con số tưởng chừng như đơn giản và vô ích đó, lại là kết quả của lao động suy tưởng hàng ngàn năm của con người: tư duy và biểu tượng hoá một cái không có thực. Một bước chuyển tư duy từ Hữu sang Vô. Người Babylon đã sử dụng hệ thống biểu tượng số hàng ngàn năm trước khi phát minh ra biểu tượng cho con số zero. Khoảng thế kỷ thứ 1 sau công nguyên, người Maya biểu tượng số zero bằng một hình oval chứa cây cung bên trong. Khoảng 5 thế kỷ sau nữa, người Hindu mới dùng vòng tròn để làm biểu tượng cho số zero và nó tồn tại mãi đến ngày nay. Các nhà toán học Ấn Ðộ thường ghi số vào các cột số, và họ dùng số zero để đánh dấu các cột trống. Trong ngôn ngữ Hindu, từ dùng để chỉ zero là śunyā, nghĩa là “hư không, trống rỗng”. Từ này được dịch sang tiếng Á-rập là Sifr, và là ngữ căn của từ zero và cipher trong tiếng Anh.

Thoạt tiên số zero được đưa vào các chữ số không phải nhằm mục đích tính toán, mà như là biểu tượng đánh dấu để phân biệt các số như 123, 1023, 1203 v.v.... Ðiểm cách tân quan trọng trong hệ thống biểu tượng số Á-rập là việc ký hiệu vị trí chữ số, theo đó các biểu tượng số tuỳ vào vị trí trong con số mà có giá trị khác nhau. Và việc ký hiệu vị trí như thế phải nhờ đến biểu tượng của con số zero.

Trong hệ đo lường SI (Le Système International d'Unités), ta thường dùng các đại lượng với bội số của chúng, được biểu diễn dễ dàng nhờ vào số zero, như sau: [1]



Trong khoa học, ta thấy hiếm khi phải dùng đến các đại lượng mang tiền tố exa hoặc atto. Ký hiệu cho dung lượng trên đĩa cứng máy tính cực lớn hiện nay cũng chưa vượt quá nỗi tiền tố tera (1 Terabyte = 10^24 Gigabytes = 1,09952 x 1012 bytes).

Chắc hẳn, khi còn đi học, chúng ta ai cũng đều nhớ câu chuyện lý thú về hạt gạo và bàn cờ trong bài tập mở đầu về cấp số nhân. Tương truyền có một vị vua Ấn Ðộ hứa sẽ ban thưởng cho ai phát minh ra một trò vui để ông tiêu khiển. Cuối cùng có một nhà toán học phát minh ra bàn cờ vua gồm 64 ô. Nhà vua thích thú quá, bèn hỏi ông ta cần ban thưởng gì. Ông ta tâu: “Thưa Bệ hạ, hạ thần chỉ cần được thưởng một số gạo để phát cho người nghèo. Xin Bệ hạ cứ cho bỏ gạo vào bàn cờ, ô đầu tiên 1 hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba 4 hạt v.v... ô sau gấp đôi ô trước. Và cứ như thế cho đến hết 64 ô “. Nhà vua cười ngất cho ông là bác học gàn, vì nhà vua nghĩ rằng chỉ cần một vài bao là đủ. Thế nhưng vào ngày hôm sau, khi vị quan thủ kho tâu là đã hết gạo trong kho mà bàn cờ chưa được một nửa, thì nhà vua mới sửng sốt. Nhà toán học vội vàng quì tâu: ”Xin Bê hạ tha cho thần cái tội khi quân vì đã dám đùa với Bệ hạ, cho dẫu đất nước Bệ hạ có giàu đến cỡ nào đi chăng nữa thì trong vòng 1000 năm cũng không thể cung ứng đủ số gạo này”. Chúng ta đã biết đây là tổng của một dãy số cấp số nhân gồm 64 số hạng, công bội là 2 và số hạng thứ nhất là 1. Số gạo khổng lồ đó gồm có 2^64 - 1, tức là khoảng 18 446 744 073 709 600 000 hạt gạo. Giả sử bình quân mỗi kg gạo có 6000 hạt gạo, thì số gạo trên sẽ hơn 3 ngàn tỷ tấn. Nếu như nước ta mỗi năm sản xuất khoảng 100 triệu tấn gạo, thì phải cần khoảng 30744 năm, tức là hơn 30 thiên niên kỷ, mới sản xuất đủ số gạo nói trên!

Con số cực lớn đó làm chúng ta hơi ngán ngẫm, nhưng xét cho cùng thì chúng cũng chưa “nhằm nhò” gì so với các khái niệm số của người Ấn Ðộ được ghi chép trong kinh điển. Dân tộc Ấn Ðộ được phú bẩm một năng lực tư duy trừu tượng và siêu hình kì diệu. Người Ấn thường tư duy về những con số cực lớn vượt ngoài tầm suy tưởng của con người, để diễn tả cái vô cùng. Trong toán học, thông thường những đại lượng quá lớn, không thể tính toán nỗi đều được gán chung bằng khái niệm vô cực ∞. Nhưng người Ấn còn đi xa hơn rất nhiều. Kinh Hoa Nghiêm Phật giáo liệt kê một loạt khoảng 123 con số, mà chắc chắn các siêu máy tính cực mạnh trên thế giới cũng phải kinh hoàng. Tôi xin trích một vài số như sau:



Từ tỳ thạnh già, nếu cứ tiếp tục thực hiện vòng lặp trên thêm 100 lần nữa, nghĩa là cứ liên tục bình phương các số tìm được, thì ta sẽ được một số cực lớn cuối cùng được liệt kê trong kinh có tên là bất khả thuyết bất khả thuyết chuyển, gồm con số 1 và 9,034 x 10^36 con số 0! Nếu muốn in con số này bằng máy tính cực mạnh, với tốc độ in 1 tỷ số 0 mỗi giây, thì ta cần một khoảng thời gian là 2,95 x 10^20 năm, nghĩa là gần 300 tỷ tỷ thiên niên kỷ! Ðứng bên cạnh nó, thì các con số cực lớn được biểu diễn bởi các loại siêu máy tính, trông nhỏ bé đến thảm hại, như không tồn tại. Con số lớn nhất mà máy tính có thể biểu diễn là số thực chính xác gấp đôi double nằm trong khoảng từ (10^-307 đến (10^+308 (gồm số 1 và 308 con số 0 ) với kích thước 64 bít. Nếu xử lý bằng máy tính, thì chỉ cần vượt qua con số a-già-la 10^224 (gồm số 1 và 224 số 0) thì máy tính đã báo lỗi, vì chỉ cần đến con số tối thắng 10^448 là số lượng số 0 đã lên đến 448 rồi.

Ðể dễ hình dung, chúng ta thử so sánh với đơn vị một năm ánh sáng trong vật lý học hay thiên văn học. Vận tốc ánh sáng là 300 000km/s, bình quân mỗi năm ánh sáng sẽ đi được khoảng đường là 9,4608 x 10^12 km. Trong thiên văn học thường có khái niệm tỷ năm ánh sáng, như thế thì quãng đường đi của một tỷ năm ánh sáng sẽ là 9,4608 x 10^21 km. Thậm chí khi đổi ra đơn vị nanometer (1nm =10^-9 m), kích thước còn nhỏ hơn loài virus hằng trăm lần, thì ta cũng chỉ mới được con số 9,4608 x 10^30. Con số tỷ năm ánh sáng được qui ra đơn vị một phần tỷ mét cũng chưa vượt nỗi con số thứ tư trong bảng là tần-bà-la (1056). Ngay cả con số thuộc loại “đại gia” trong vật lý là hằng số Avogadro, chỉ số lượng phân tử trong một mole, cũng mới chỉ đạt đến giá trị 6,0221367 x 10^23.

Nhưng vấn đề không phải là giá trị của con số mà là tên gọi. Bởi vì rõ ràng khi sáng tạo ra con số và đặt tên cho nó, thì con người đã ý thức được sẽ gắn liền con số đó với cái gì đó tồn tại trong thực tế hoặc trong tư duy! Mãi cho đến nay, chưa bao giờ khoa học phải xử lý các con số có giá trị tuyệt đối tiến gần đến con số double. Tôi tin rằng một khi khoa học đã xử lý đến những vấn đề có liên quan đến các đại lượng cực lớn, vượt xa các con số mang tiền tố exa và atta, thì chắc chắn sẽ có tên gọi cho đại lượng đó. Mà xét cho cùng, cho dẫu khoa học có tiến bộ đến đâu chăng nữa, thì các con số cực lớn được sử dụng trong tương lai cũng chẳng ăn nhằm gì so với con số bất khả thuyết bất khả thuyết chuyển trong tư tưởng Ấn Ðộ.

Dường như chưa thỏa mãn với các con số kinh khủng như thế, người Ấn còn có khuynh hướng dùng hình tượng để diễn tả những khoảng không gian và thời gian vô biên vô tận. Ví dụ để diễn tả cái vô biên của thời gian, kinh điển Phật giáo dùng hình ảnh một người dùng khăn lau, cứ mỗi kiếp lại lau hòn núi Tu Di một lần, thì thời gian dùng để lau mòn hòn núi đó còn ngắn hơn thọ mạng của Như Lai [2]. Ðể diễn tả cái vô tận của không gian, kinh thường dùng hình ảnh như sau: giả sử đem nghiền nát trái đất thành bụi nhỏ, để một người đi qua vô lượng quốc độ về phương Ðông đặt một hạt bụi, rồi lần lượt đi qua vô lượng quốc độ về các phương Tây, Nam, Bắc để đặt một hạt bụi. Cứ như thế cho đến khi hết số bụi kia thì cũng chưa đi hết một phần cực nhỏ của mười phương thế giới. Hình tượng không gian như thế, cái hình tượng tồn tại trong tư duy của người Ấn cách đây hàng mấy ngàn năm khi trầm tư về vũ trụ, quả đã vượt quá xa cái mô hình vũ trụ với kích thước vài tỷ năm ánh sáng của vật lý học hiện đại. Cho dẫu ta có hình dung các hình tượng đó diễn tả một khoảng không gian thời gian hữu hạn đi nữa, thì các con số kinh khủng đó dường như chạy thẳng vào cõi vô tận vô biên, nên ý đồ phân chia hay tính toán bằng mọi đơn vị đo lường đều trở thành phù phiếm và buồn cười. Có lẽ còn buồn cười hơn cả việc đong nước đại dương bằng muỗng cà-phê!

Mà cần gì đến các con số khổng lồ nói trên, ngay trong các con số quen thuộc nhất vẫn hàm chứa cái vô biên huyền ẩn, mà toán học gọi là các số siêu việt (transcendental numbers). Ðiển hình là con số pi. Giá trị 3,14159...... với những dấu chấm lửng vẫn thách thức mọi nỗ lực của toán học. Chuỗi dài các số thập phân sau số 3 đó cứ kéo dài đến vô cùng, nhưng không tuân theo qui luật nào cả, và không kết thúc bằng các số zero. Mãi cho đến năm 1882, nhà toán học người Ðức là Ferdinand von Lindemann (1852-1939) mới chứng minh được rằng số pi là số siêu việt, nghĩa là nó không thể là nghiệm số của bất kỳ phương trình đa thức nào với các hệ số là số hữu tỷ cả. Cho đến nay, với sự hỗ trợ của các máy tính cực mạnh, người ta đã tính được giá trị của số pi với 200 tỷ (2x 10^11 ) số thập phân, nhưng giá trị thực của nó vẫn còn là điều bí ẩn. Trí tuệ con người dường như vẫn bị vấp phải một trở lực nào đó, khi muốn mở toang bức màn che dấu các con số để đi tìm đến cái tuyệt đối.

Ngẫm ra cái xác thân chưa đầy 2 mét và tồn tại trong khoảng thời gian 100 năm của chúng ta quả nhỏ nhoi biết mấy trước các cực lượng nói trên. Và từ đó, ta mới thấy con người quả vô cùng tuyệt hảo khi dùng cái hữu hạn của mình để, bằng các con số và hình tượng, đi vào cõi thăm thẳm vô biên.



Nguồn: Kiến thức Ngày nay số 405 (10.11.2001)



----


Ghi chú thêm:
(Do mình tự thêm vào)

[1] Chỗ viết tắt hiểu thế này: 1018 tức là 10^18 (10 mũ 18); 1015 tức là 10^15 (10 mũ 15); v.v..

[2] Một ví dụ khác về quan niệm vĩnh hằng:
"Hãy thử tưởng tượng rằng có một quả cầu bằng thép to bằng cả trái đất, và cứ một triệu năm một lần thì có một con ruồi đậu xuống quả cầu đó. Khi quả cầu thép đó mòn đi vì sự ma sát (giữa con ruồi và quả cầu), thì sự vĩnh hằng thậm chí còn chưa bắt đầu."
<Định nghĩa về sự vô hạn của David Lodge, trích từ tác phẩm The Picturegoers>

Nguyên văn câu tiếng Anh:
“Think of a ball of steel as large as the world, and a fly alighting on it once every million years. When the ball of steel is rubbed away by the friction, eternity will not even have begun.”